İnsan, sayı kavramını oluşturmadan önce çoklukları, ardışıklığı ve mekânsal ayrımları deneyimledi. Sürüdeki hayvanların azaldığını, elindeki nesnelerin çoğaldığını, bir şeyin bölündüğünü veya başka şeylerle bir araya geldiğini gördü. Doğruyu, üçgeni ve daireyi tanımlamadan önce yol aldı, sınır çizdi, barınak kurdu ve toprağı ölçtü. Bu deneyimler henüz aritmetik veya geometri değildi; fakat sayma, karşılaştırma ve ölçme pratiklerinin gelişmesine zemin hazırladı; bu pratikler de sayı, büyüklük ve biçim kavramlarının oluşmasını mümkün kıldı. Matematiksel düşüncenin ilk izleri, insanın dünyayı yalnızca seyretmesinde değil, ihtiyaçlarını karşılamak için onunla kurduğu etkin ilişkide aranmalıdır. Fakat matematiğin deneyim içinde ortaya çıkmış olması, onun bütünüyle deneysel bilgiye indirgenebileceğini gösterir mi?

Alan Woods, Marksist Bir Felsefe Tarihi adlı eserinde Pisagorcuları tartışırken matematiğin maddi ve toplumsal kökenleri üzerinde durur.¹ Onluk sayı sistemini insanın parmaklarıyla, geleneksel uzunluk ölçülerini ayak, parmak ve karış gibi bedensel büyüklüklerle; geometrinin gelişimini arazi ölçümü ve yapı inşasıyla, hesaplama tekniklerini ise mülkiyet ve ticaretle ilişkilendirir. Matematiğin tarihi kuşkusuz bunlardan ibaret değildir; astronomi, takvim, müzik, yönetim, oyun ve kuramsal merak da bu tarihte rol oynamıştır. Yine de Woods’un temel düşüncesi doğrudur: Matematik, dünyadan kopuk saf bir zihnin kendiliğinden ürünü değil, insanın maddi ve toplumsal pratikleri içinde gelişen tarihsel bir bilgi alanıdır. Sorun, bu tarihsel kökenden matematiğin bütünüyle deneyime ve maddi pratiğe indirgenebileceği sonucuna geçildiğinde başlar.

Matematiğin ortaya çıkışı ile matematiksel önermelerin geçerliliği aynı düzleme ait değildir. Sayı ve biçim kavramlarının hangi koşullarda oluştuğu tarihsel ve bilişsel, bu kavramlar arasında kurulan bir ilişkinin nasıl kanıtlanacağı ise mantıksal bir sorudur. Deneyim, matematiksel kavramların oluşumunda, öğrenilmesinde, yeni bağıntıların sezilmesinde ve matematiğin fiziksel dünyaya uygulanmasında vazgeçilmezdir. Buna karşılık bir önermenin teorem olarak geçerliliği, gözlenen örneklerin çokluğuna değil, belirli tanım ve ilkelerden nasıl çıkarıldığına bağlıdır. Matematiği deneyime indirgemek, deneyimin bu farklı işlevlerini tek bir açıklama biçimi içinde eriterek matematiksel düşüncenin özgünlüğünü ortadan kaldırır.

Sayılar ve geometrik biçimler, maddi nesnelerin yanında bulunan ayrı, ontik ve tözsel varlıklar değildir. Dünyada elmalar, taşlar, insanlar ve bunların meydana getirdiği çokluklar vardır; fakat bunların yanında ayrıca “üç” diye bir töz bulunmaz. “Üç”, farklı nesne kümelerinde görülen ortak çokluk ilişkisinin soyutlanmış kavramsal ifadesidir. Aynı şekilde doğada genişliği olmayan doğrulara, boyutsuz noktalara veya kusursuz dairelere rastlanmaz. Bunlar duyusal nesnelerden hareketle oluşturulan ideal yapılardır. Matematiksel kavramların insan tarafından oluşturulması ise onları keyfî kılmaz. İnsan çoklukları ve mekânsal ilişkileri yaratmaz; deneyimde karşılaştığı ilişkilerin belirli yönlerini seçer, diğer özelliklerden ayırır ve kavramlaştırır. Matematiğin nesnelliği, sayıların bağımsız bir varlık dünyasında bulunmasından değil, soyutlamanın gerçek ilişkilere dayanmasından ve kurulan kavramsal yapının insanın isteğine göre değiştirilemeyen sonuçlar üretmesinden kaynaklanır.

Bir çocuk iki nesnenin yanına üç nesne koyduğunda beş nesne elde edildiğini görerek sayı kavramlarını öğrenebilir. Ancak “iki ile üçün toplamı beştir” önermesinin doğruluğu, bundan sonra yapılacak bütün sayma işlemlerinin sonucunu beklemez. İki taşın yanına üç taş veya iki kitabın yanına üç kitap koymak, önermeyi her defasında yeniden kanıtlamaz; aynı aritmetik ilişkinin farklı nesne kümelerine uygulanabileceğini gösterir. İki su damlası ile üç su damlası birleştiğinde beş ayrı damla yerine tek bir büyük damla oluşması da aritmetiği çürütmez. Burada değişen sayı ilişkisi değil, sayılan birimlerin işlem boyunca özdeşliklerini koruyup korumadığıdır. Nesnelerin ayırt edilebilir ve aynı birim altında sayılabilir olup olmadığı deneysel, iki ile üçün toplamının ne olduğu ise kavramsal bir sorudur. Deney, aritmetik önermenin doğruluğunu değil, onun belirli bir fiziksel duruma uygulanma koşullarını gösterir.

Matematiksel araştırma bütünüyle düz bir tümdengelim süreci değildir. Matematikçiler örnekleri inceler, şekiller çizer, hesaplamalar yapar, benzerliklerden hareketle tahminlerde bulunur ve karşı örneklerle karşılaştıklarında tanımlarını değiştirebilirler. Bu yönüyle matematiksel keşif deneme, yanılma ve düzeltme içerir. Fakat bir örüntünün binlerce örnekte görülmesi, onun bütün durumlar için kanıtlandığı anlamına gelmez. Örnekler bir önermeyi düşündürebilir; kanıt ise o önermenin kabul edilen kavramsal yapı içindeki yerini gösterir. Matematikçiler bir ilişkiyi yanlış formüle edebilir veya geçersiz bir kanıtı doğru sanabilirler. Bu yanılabilirlik, matematiksel geçerliliğin deneysel genellemeye dayandığını değil, insanların kavram kurma ve çıkarım yapma süreçlerinin tarihsel sınırlar taşıdığını gösterir.

Matematiğin görece özerkliği, deneyimde karşılaşılan çokluk, büyüklük ve biçim ilişkilerinin soyutlanarak simgeler ve işlem kuralları içinde düzenlenmesiyle ortaya çıkar. Böyle bir kavramsal sistem kurulduğunda, başlangıçta öngörülmeyen sonuçlar açığa çıkmaya başlar. Matematikçi tanımları ve başlangıç ilkelerini oluşturabilir; fakat bunları kabul ettikten sonra ortaya çıkacak sonuçları dilediği gibi belirleyemez. Matematiksel zorunluluk ayrı bir matematiksel varlık dünyasından değil, kavramlar ve kurallar arasında kurulan ilişkiden doğar. Bu zorunluluk mutlak değil, koşulludur: Belirli tanımlar, ilkeler ve çıkarım kuralları kabul edildiğinde, aynı kabulleri koruyarak bunlardan çıkan sonuçları reddetmek mümkün değildir. Matematik böylece deneyimden hareket eder, fakat kavramsal bir sistem hâline geldiğinde başlangıçtaki deneyimlerin doğrudan sunmadığı sonuçlara ulaşır.

Doğal sayıların somut nesnelerin sayılmasıyla ilişkili olması, matematiğin bütün gelişiminin sayma deneyimine indirgenebileceği anlamına gelmez. Negatif sayılar borç, eksilme ve yön gibi pratik ilişkilerle bağlantılı olsa da doğal sayıların ötesinde yeni bir işlem alanı açmış; karmaşık sayılar ise belirli cebirsel güçlüklerin aşılması sırasında geliştirilmiştir. Bu kavramlar duyusal nesnelerin basit kopyaları olmadığı gibi, hiçbir sınır tanımayan zihinsel icatlar da değildir. Mevcut matematiksel yapının karşılaştığı sorunlar, kavram alanının genişletilmesini gerekli kılmış; yeni kavramlar, ortaya çıktıkları pratik veya kuramsal bağlamı aşan ilişkilerin kurulmasına imkân vermiştir.

Geometri bu dönüşümü daha açık gösterir. İlk geometrik bilgiler arazi ölçmek, yapıların duvarlarını dikleştirmek ve uzaklıkları belirlemek amacıyla geliştirilmiş olabilir. Fakat geometrinin sözünü ettiği nokta, doğru, düzlem ve daire deneyimde kusursuz biçimde bulunmaz. Kâğıt üzerine çizilen noktanın bir büyüklüğü, doğrunun bir kalınlığı ve dairenin küçük de olsa düzensizlikleri vardır. Geometrik biçim, duyusal nesnenin kopyası değil, onun belirli özelliklerinin seçilerek ideal bir ilişkiler düzeni içinde yeniden kurulmasıdır. Bu yüzden bir üçgenin açılarını tekrar tekrar ölçmek geometrik bir teoremi kanıtlamaya yetmez. Ölçüm bir bağıntının fark edilmesini sağlayabilir; kanıt ise tanım ve ilkeler kabul edildiğinde sonucun neden başka türlü olamayacağını gösterir. Bununla birlikte bir üçgenin iç açılarının toplamının iki dik açıya eşit olması yalnızca Öklid geometrisi içinde zorunludur. Öklid dışı geometrilerde aynı sonuç geçerli değildir. Hangi geometrik sistemin fiziksel uzayı daha uygun biçimde temsil ettiği matematik tarafından tek başına kararlaştırılamaz; geometrik çerçeve, fiziksel varsayımlar ve deneysel verilerle birlikte değerlendirilir. Böylece geometrik sistemin içsel geçerliliği ile fiziksel gerçekliğe uygunluğu birbirinden ayrılır.

Woods’un Pisagorculara yönelttiği eleştiri de bu çerçevede anlam kazanır. Pisagorculara atfedilen görüşlerin tarihsel ayrıntıları tartışmalı olsa da temel sorun açıktır: Doğada ve müzikte saptanan sayısal ilişkilerden, varlığın bütünüyle sayılardan oluştuğu sonucuna geçilmiştir. Oysa şeylerin belirli yönlerinin matematiksel olarak ifade edilebilmesi ile şeylerin yalnızca matematiksel varlıklar olması aynı şey değildir. Matematiksel kavramlar maddi ilişkilerin soyutlanmasıyla oluşmuşken onları maddi gerçekliğin kurucu tözleri hâline getirmek, soyutlamanın kaynağını tersine çevirmektir. Ne var ki bu eleştiri matematiği yeniden somut deneyime hapsetmeyi gerektirmez. Karenin kenarı ile köşegeni arasında ortak bir ölçünün bulunmadığının gösterilmesi, mevcut sayı anlayışının kavramsal düşünce tarafından aşılmasıdır. Ölçüm köşegen için yaklaşık bir değer verebilir; matematiksel kanıt ise hiçbir tam sayı oranının bu büyüklüğü eksiksiz ifade edemeyeceğini ortaya koyar.

Matematiğin fiziksel dünyaya uygulanabilir olması Platoncu bir matematik ontolojisini gerektirmez. Matematiksel bir model, ele aldığı nesnenin bütün özelliklerini değil, belirli bir sorun bakımından önemli olan ilişkileri seçer. Bir cismin hareketi hesaplanırken rengi, kokusu veya geçmişi değil; kütlesi, hızı ve konumu arasındaki bağıntılar dikkate alınır. Matematik doğanın bir kopyası değil, gerçekliğin belirli yönlerini seçerek ilişkisel bir yapı içinde yeniden kuran kavramsal bir araçtır. Geliştirilen bütün matematiksel yapıların fiziksel karşılık bulmaması, uygulanabilirliği hazır iki varlık alanı arasındaki gizemli bir uyumla açıklamayı zorunlu olmaktan çıkarır. Doğadaki düzenlilikler, matematiksel yapıların genelliği ve bilimsel modellemede yapılan seçimler, belirli bir yapının gerçekliği açıklamakta kullanılmasını birlikte mümkün kılar.

Matematik ne ayrı ve değişmez bir varlık alanının bilgisi ne de duyusal deneyimlerin biriktirilmiş özetidir. Sayı, büyüklük ve biçim kavramları insanın maddi dünya ile kurduğu ilişkiler içinde oluşur; fakat sistemli hâle getirildiklerinde tekil deneyimlerin ötesine geçen sonuçlar üretirler. Bu sonuçların geçerliliği yeniden ölçüm yapmaya değil, kavramsal ilişkilerin kanıtlanmasına bağlıdır. Dolayısıyla matematik deneyimsel bir kökene sahip olsa da deneysel bilgiye indirgenemez. İnsan parmaklarıyla saymaya başlamış olabilir; fakat sayı kavramı bir kez oluşturulduğunda, parmakların gösterebileceğinden çok daha geniş bir ilişkiler alanının kapısını açmıştır.

1) Alan Woods, Marksist Bir Felsefe Tarihi, çev. Zeki Avcı (İstanbul: Yordam Yayınları, 2025), ss. 69–75.